【テクノロジー解説】ドーナツとコーヒーカップは「同じ形」?穴の数だけで形を分ける数学「トポロジー」で、物質のふしぎな状態を説明。未来の電子機器や量子コンピューターへの期待(2016年ノーベル物理学賞)
数学の「トポロジー」では、ボールとおわんは同じなかま、穴が1つあるドーナツ(ベーグル)と持ち手に穴のあるコーヒーカップも同じなかまです。穴の数は1、2、3…と整数でしか変わりません。2016年のノーベル物理学賞は、このトポロジーの考え方で、超伝導、超流動、うすい膜などの物質のふしぎな状態を説明した、サウレス博士、ホールデン博士、コステリッツ博士に贈られました。うすい層で電気の通りやすさが整数の段階でしか変わらない「量子ホール効果」のなぞも、トポロジーで解けました。新しい電子機器や量子コンピューターへの応用が期待されています。
プレ男ドーナツとコーヒーカップが同じ形?どう見てもちがうでしょ!
メル美「穴の数」だけで見る数学だと、同じなかまなんだって。
こんにちは、Dr. Taro です。 「テクノロジー解説」、今回はトポロジーです。2016年のノーベル物理学賞の発表と一般向け解説をもとにまとめました。とても奥の深い分野なので、発表に書かれていることにしぼって紹介します。
「穴の数」で形を分ける数学
- トポロジーは、段階的にしか変わらない性質をあつかう数学の分野です
- たとえば穴の数。ねんどのボールは、のばしておわんにできるので、ボールとおわんは同じなかまです
- 真ん中に穴のあるベーグルと、持ち手に穴のあるコーヒーカップも、形をかえておたがいになれるので、同じなかまです
- 穴の数は、1つ、2つ、3つ…と、整数でしか変わりません。半分の穴はありません
- また、コーヒーカップに穴があるかどうかは、一部分だけを見てもわかりません。全体を見る必要があります
プレ男「穴が1つ」という点では、ドーナツもカップも同じなのか!
うすい層でも超伝導は起きる
- 1970年代はじめ、うすい層では、電気抵抗ゼロの超伝導や、うず巻きが止まらない超流動は起きないと考えられていました
- マイケル・コステリッツ博士とデヴィッド・サウレス博士は、その考えをくつがえしました。低い温度では超伝導が起き、温度が上がると消えるしくみ(相転移)も説明しました
- 主役は、平らな物質の中の小さなうずです。冷たいときはうずがペアをつくり、ある温度になると、急にはなれてばらばらに動きだします
量子ホール効果のなぞ
- 1980年代、とてもうすい電気を通す層で、電気の通りやすさ(電気伝導度)が、整数の段階でしか変わらない、しかもとても正確な値になる実験結果がありました。当時の物理では説明できないなぞでした(量子ホール効果)
- サウレス博士は、この整数の段階が、穴の数と同じようにトポロジー的な性質であることを示しました
- 同じころ、ダンカン・ホールデン博士は、物質の中にある小さな磁石の鎖の性質を、トポロジーで理解できることを発見しました
これから
- いまでは、うすい層や細い線だけでなく、ふつうの3次元の物質でも、たくさんのトポロジー的な状態が知られています
- 新しい世代の電子機器や超伝導、未来の量子コンピューターに使えるのではないかという期待から、研究がさかんになっています(2016年当時)
トポロジーは、穴の数のように段階的にしか変わらない性質をあつかう数学です。2016年の受賞者は、この考え方で超伝導や量子ホール効果など物質のふしぎな状態を説明し、新しい材料の研究への扉をひらきました。
つながるテクノロジー
- 量子の世界のふしぎ:「量子力学」ってなに?
- 量子コンピューターの今:量子コンピューターはいまどこまで来た?
- 原子1個分の厚さのシート:グラフェン
プレ男朝のドーナツとコーヒーで、トポロジーの話ができるね。
メル美数学の考え方が、物質のなぞを解くのがおもしろいね。
電気抵抗ゼロの超伝導が強い磁場でも続くしくみは、電気抵抗ゼロの「超伝導」と、ねばりゼロの「超流動」へ。
まとめ
- トポロジー:穴の数のように段階的にしか変わらない性質をあつかう数学
- ボールとおわん、ベーグルとコーヒーカップはそれぞれ同じなかま
- うすい層でも超伝導は起きる。主役は小さなうず(コステリッツ博士、サウレス博士)
- 量子ホール効果の整数の段階は、トポロジー的な性質(サウレス博士)。磁石の鎖も(ホールデン博士)
- 新しい電子機器や量子コンピューターへの期待(2016年ノーベル物理学賞)
参考文献
- The Royal Swedish Academy of Sciences. Press release: The Nobel Prize in Physics 2016. NobelPrize.org. https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2016/press-release/ (閲覧日:2026年10月10日)
- The Royal Swedish Academy of Sciences. Popular science background: Strange phenomena in matter’s flatlands (PDF). https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/popular-physicsprize2016.pdf (閲覧日:2026年10月10日)
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